ESTYMACJA POZYCJI STATKU NA POWIERZCHNI KULI

1. Estymacja pozycji z dwóch namiarów własnych.

2. Estymacja pozycji z dwóch namiarów obcych.

3. Estymacja pozycji z dwóch kątów poziomych.

4. Estymacja pozycji z dwóch odległości.

5. Estymacja pozycji z dwóch różnic odległości.

6. Estymacja pozycji z dwóch sum odległości.

7. Estymacja pozycji z namiaru własnego i odległości.

1. Estymacja pozycji z dwóch namiarów własnych.

Bezpośrednie obliczenie współrzędnych pozycji statku z namiarów (radionamiarów), które wykonuje okręt na dwa znaki nawigacyjne jest skomplikowane.

Rys. 1 Elementy geometryczne obliczania pozycji z dwóch namiarów własnych.

Wielkości znane to:

· Namiary (ortodromiczne) ze statku na znaki nawigacyjne

N_st1 = A₁ i N_st2 = A₂,

· Współrzędne znaków nawigacyjnych (najczęściej radiolatarni):

S₁(), S₂(),

· Kąt przecięcia się linii pozycyjnych:

Wielkości szukane stanowią współrzędne pozycji statku

Na podstawie wielkości znanych możemy obliczyć wzajemne azymuty stacji (radiolatarni) oraz odległość między nimi D. Mamy jednak zbyt mało danych aby wystarczyły do obliczenia współrzędnych pozycji statku w punkcie M. Rozwiążemy układ równań aby uzyskać pomocniczą wielkość. Wielkością tą mogą być kąty () lub (), lub albo odległości D₁ lub D₂. Obliczając jedną z podanych wielkości i rozwiązując odpowiedni układ równań powodujemy, że dalsze rozwiązanie zadania jest bardziej proste.

Wybieramy układ równań:

,

,

,

.

Wielkości znane w tym układzie równań to:

oraz D, którą można obliczyć z trójkąta S₁NS₂.

Wielkości nieznane to:

.

Układ równań jest układem normalnym czterech równań nieliniowych. Prowadząc kolejne eliminacje otrzymamy:

Przekształcając dalej otrzymamy równanie algebraiczne ósmego stopnia postaci:

R*x⁸+S*x⁶+T*x⁴+U*x²-K² = 0,

Współczynniki: R, S, T, U, K są to wielkości stałe dla danej pary radiolatarń (ich współrzędnych) i zmierzonych wartości radionamiarów.

Rozwiązanie naszego zadania można zastąpić rozwiązaniem pośrednim i przybliżonym przez to prostszym i krótszym, stosując metodę kolejnych przybliżeń. Polega to na zmianie radionamiarów własnych na radionamiary obce przez wprowadzenie poprawki na zbieżność południków. Wartości zbieżności południków należy obliczyć przyjmując przybliżone wartości współrzędnych pozycji statku (współrzędne pozycji zliczonej M_z ()).

Kolejność obliczeń:

• Obliczamy wartość przybliżone zbieżności południków

• Obliczamy wartość radionamiarów obcych

• Obliczamy wartości wzajemnych azymutów radiolatarń oraz odległość między nimi D ze wzorów:

oraz

• Obliczamy wartości kątów pomocniczych ,

• Obliczamy odległości D₁, D₂

Obliczamy współrzędne pozycji M() względem radiolatarni S₁ lub radiolatarni S₂. Wykorzystujemy do tego celu wzory:

oraz

Współrzędne pozycji statku można także obliczyć według następujących wzorów:

oraz

Z powodu tego, że wartości zbieżności południków są wartościami przybliżonymi to wyżej obliczone współrzędne pozycji są współrzędnymi przybliżonymi. W celu dokładniejszego obliczenia współrzędnych należy wprowadzić kolejne przybliżenia. Oznacza to, że obliczone w pierwszym kroku współrzędne pozycji przyjmujemy jako zliczone i dla nich obliczamy zbieżność południków. Możemy zaprzestać po pierwszym przybliżeniu.

Skoro wartości oraz obliczalibyśmy z układu równań

,

,

,

.

oraz

R*x⁸+S*x⁶+T*x⁴+U*x²-K² = 0,

to kolejność dalszych obliczeń mogłaby być następująca:

Wartości kątów obliczamy z wzorów sinusów lub cotangensów:

lub

Odwrotne namiary ortodromiczne otrzymamy odejmując (dodając) od wartości wzajemnych azymutów radiolatarni, wartości kątów

Azymuty radiolatarni obliczamy według wzorów:

lub

Szerokość geograficzną natomiast obliczamy według wzoru:

lub

Góra strony

2. Estymacja pozycji z dwóch namiarów obcych.

W nawigacji namiarami obcymi nazywamy namiary określone przez radiostacje namierzające lub gdy wykorzystywane są systemy radionawigacyjne „Consol” lub „Consolan”.

Wielkościami znanymi są:

• Namiary (ortodromiczne) z radiostacji na statek

N_st1=A₁ N_st2=A₂

• Współrzędne radiostacji namierzających

,

Wielkościami szukanymi są współrzędne pozycji statku .

Rys. 2. Elementy geometryczne obliczania pozycji z dwóch namiarów obcych.

Kolejność obliczeń jest następująca:

• Obliczamy wielkości pomocnicze, stałe dla danej pary radiostacji. Są to: azymut ze stacji S₁ na S₂ (a₁₂) i ze stacji S₂ na S₁ (a₂₁) oraz odległość między stacjami D. Z trójkąta sferycznego NS₁S₂ mamy:

oraz

Do obliczeń wartości azymutów i odległości między stacjami wykorzystuje się też wzory sinusów (po wcześniejszym obliczeniu wartości D lub a za pomocą jednego z poprzednich wzorów):

stąd

• Obliczamy odległości od radiostacji do statku (D₁ i D₂):

,

gdzie:

D₁, D₂ – odległości od radiostacji do statku,

A₁, A₂ – namiary ortodromiczne z radiostacji na statek.

Znając obliczone wartości obliczymy współrzędne pozycji statku w zależności od współrzędnych radiostacji S₁ lub S₂ korzystając z następujących zależności:

oraz

Współrzędne pozycji statku można także obliczyć według następujących wzorów:

oraz

Góra strony

3. Estymacja pozycji z dwóch kątów poziomych.

Zadanie to jest podobne do zadania polegającego na obliczeniu współrzędnych z dwóch namiarów własnych. Należy w nim obliczyć współrzędne pozycji statku z dwóch kątów zmierzonych pomiędzy trzema radiolatarniami (znakami nawigacyjnymi).

Rys. 3 Elementy geometryczne obliczania pozycji z dwóch kątów poziomych.

Wielkościami znanymi są:

Ø Kąty sferyczne .

Ø Współrzędne znaków nawigacyjnych:

, , .

Wielkości szukane to współrzędne pozycji statku M()

W tym zadaniu nie możemy zastosować rozwiązań przybliżonych, tak jak robiliśmy to podczas obliczania współrzędnych z namiarów własnych. Aby obliczyć współrzędne pozycji M, musimy najpierw obliczyć wartości kątów i boków w trójkątach sferycznych S₁S₂M oraz MS₂S₃.

Kolejność obliczeń:

Ø obliczamy wartości azymutów

kąt

oraz odległości D₁₂, D₂₃, D₁₃ między radiolatarniami S₁ i S₃

Wykorzystujemy do tego celu wzory zamieszczone w części dotyczącej estymacji pozycji z dwóch namiarów obcych:

oraz

Do obliczeń wartości azymutów i odległości między stacjami wykorzystuje się też wzory sinusów (po wcześniejszym obliczeniu wartości D lub a za pomocą jednego z poprzednich wzorów):

stąd

Ø Obliczamy wartość kąta Q oraz (B-Q). Aby to zrobić należy rozwiązać układ trzech równań trygonometrycznych:

.

Po obliczeniu wartości Q i B-Q możemy obliczyć D₁ oraz D₂, korzystając z dwóch pierwszych równań układu.

Ø Obliczamy także wartości kątów oraz

Aby osiągnąć zamierzony cel rozwiązujemy dwa układy równań trygonometrycznych, po dwa równania w każdym:

Ø Obliczamy współrzędne pozycji statku M():

oraz

,

.

Góra strony

4. Estymacja pozycji z dwóch odległości.

Podczas obliczania współrzędnych z dwóch odległości znamy:

v Odległości do dwóch znaków nawigacyjnych D₁, D₂,

v Współrzędne tych znaków nawigacyjnych S₁(), S₂().

Szukamy natomiast współrzędnych pozycji statku M().

Rys. 4 Elementy geometryczne obliczania pozycji z dwóch odległości.

Kolejność obliczeń:

v Obliczamy stałe elementy danej pary znaków nawigacyjnych

i D

Wykorzystujemy w tym celu następujące wzory:

,

,

.

v Obliczamy kąty oraz w trójkącie sferycznym S₁S₂M:

v Obliczamy wartości namiarów ortodromicznych ze znaków nawigacyjnych na pozycję statku M

v Współrzędne dotyczące pozycji statku M obliczamy z następujących wzorów:

Góra strony

5. Estymacja pozycji z dwóch różnic odległości.

Podczas obliczania współrzędnych tą metodą do wartości znanych należą:

ü Dwie różnice odległości

ü Współrzędne trzech stacji systemu radionawigacyjnego S₁(, S₂() oraz S₃().

Wielkości szukane to współrzędne pozycji statku M().

Rys. 5. Elementy geometryczne obliczania pozycji z dwóch różnic odległości.

Kolejność obliczeń:

ü Obliczamy stałe elementy wybranych dwóch par stacji:

oraz kąt .

ü Obliczamy wartość kąta Q lub B-Q.

Zaczynamy od:

stąd

Po rozwinięciu lewych stron ostatniego układu równań i podzieleniu go przez cosD₂ otrzymamy:

[23]

Wprowadzamy następujące oznaczenia dla stałych współczynników:

. [24]

Równanie [23] po uwzględnieniu [24] przyjmie postać:

lub postać:

. [25]

Wprowadźmy oznaczenie:

. [26]

Gdy uwzględnimy [26] to równanie [25] przyjmuje postać:

.

Możemy więc obliczyć wartość kąta Q:

Znając wartość kąta Q lub B-Q, możemy obliczyć odległość D₂ według wzoru:

.

ü Obliczamy współrzędne pozycji statku M() w stosunku do współrzędnych stacji S₂():

Góra strony

6. Estymacja pozycji z dwóch sum odległości.

Przy obliczaniu współrzędnych z dwóch sum odległości dane mamy:

• Dwie sumy odległości ,
• Współrzędne trzech stacji systemu radionawigacyjnego, względem których zmierzono te sumy odległości:

Współrzędne pozycji statku M obliczamy w stosunku do współrzędnych stacji S₂().

Rys. 6. Elementy geometryczne obliczania pozycji z dwóch sum odległości.

Kolejność wykonywania obliczeń jest następująca:

· Obliczamy elementy stałe wcześniej wybranych dwóch par stacji

, D₁₂, D₂₃ oraz kąt

gdzie,

· Obliczamy kąt Q lub B-Q, wykonując podobne przekształcenia jak przy obliczaniu wartości tego kąta dla pozycji z dwóch różnic odległości.

Zaczynamy od tego, że:

,

stąd

.

Po rozwinięciu lewych stron układu równań oraz podzieleniu przez cosD₂ otrzymamy:

.

Wartość pomocniczego kąta można obliczyć ze wzoru:

,

gdzie

.

Natomiast sumę kątów i wyliczymy ze wzoru:

.

Wykorzystując to, że znamy wartość kąta Q lub B-Q możemy odległość D₂ obliczyć ze wzoru:

· Współrzędne pozycji okrętu M() obliczymy w zależności od współrzędnych S₂(), korzystając ze wzorów

Góra strony

7. Estymacja pozycji z namiaru własnego i odległości.

Podczas obliczania pozycji statku M() z namiaru własnego i odległości znamy:

• Wartość namiaru własnego A.
• Odległość do znaku nawigacyjnego D.
• Współrzędne znaku nawigacyjnego S₁().

Rys. 7.Elementy geometryczne obliczania pozycji z namiaru własnego i odległości.

Kolejność obliczeń:

• Obliczamy różnicę długości geograficznej ze wzoru:

.

• Obliczamy szerokość geograficzną pozycji statku . Aby to uczynić rozwiązujemy równanie:

.

Szerokość geograficzną można też obliczyć używając wzoru:

gdzie

- namiar obcy, obliczony ze wzoru:

,

gdzie zbieżność południków obliczamy następująco:

Z tego względu, że znana jest dokładnie wartość różnicy długości ze wzoru:

,

to zbieżność południków jest obliczona prawie dokładnie.

Góra strony