Estymacja pozycji statku na płaszczyźnie

 

 

Obliczanie pozycji zliczonej na płaszczyźnie.

1. Estymacja pozycji z dwóch kątów poziomych.

2. Estymacja pozycji z dwóch namiarów obcych.

3. Estymacja pozycji z dwóch odległości.

4. Estymacja pozycji z dwóch różnic odległości.

5. Estymacja pozycji z dwóch sum odległości.

6. Estymacja pozycji z namiaru i odległości.

7. Estymacja pozycji z namiaru i kąta poziomego.

8. Estymacja pozycji z odległości i kąta poziomego.

9. Estymacja pozycji z odległości i różnicy odległości.

10. Estymacja pozycji z różnicy i sumy odległości.

 

 

Obliczanie pozycji zliczonej na płaszczyźnie.

 

Warunek stosowania płaszczyzny do obliczeń nawigacyjnych bez konieczności redukcji parametrów pozycyjnych.

 

Pewien obszar powierzchni Ziemi można traktować jako płaszczyznę, do takiej odległości od obserwatora, do jakiej kulistość jej nie wpływa praktycznie na pomiary parametrów nawigacyjnych. Powinniśmy zastanowić się nad wpływem aproksymacji powierzchni Ziemi przez płaszczyznę na pomiary liniowe i kątowe.

            Do określenia różnicy pomiędzy odległością na kuli D1 i odległością na płaszczyźnie D używamy wzoru:

 

gdzie:

R – średni promień Ziemi (6371109,7 według Krasowskiego).

 

Stąd otrzymujemy:

 

 

Widzimy więc, że maksymalna odległość na powierzchni Ziemi D1, którą można aproksymować płaszczyzną zależna jest od dokładności pomiarów liniowych. Należy pamiętać, że  powinna być dziesięciokrotnie mniejsza od dokładności pomiarów liniowych.

Przy pomiarach kątowych (kątów poziomych) przyjmuje się trójkąt sferyczny jako płaski, gdy wartość  ekscesu sferycznego nie przekracza takiej wartości błędu pomiaru kąta, którą można pominąć. Promień obszaru, który zawiera maksymalny trójkąt sferyczny obliczamy ze wzoru:

 

gdzie:

*   - okres sferyczny.

 

Trójkąt taki traktujemy z reguły jako płaski.

      Należy też pamiętać, że przy pomiarach kątowych powierzchnię Ziemi w promieniu 35 mil morskich można traktować jako płaską.

      Podczas wykonywania namiarów ustalających odległość, dla jakiej uważa się powierzchnię Ziemi jako płaską, należy uwzględnić wartość zbieżności południków (). Obliczeń dokonujemy ze wzoru:

 

.

 

      Ze względu na to, że  oraz  to wartości małe, przyjmujemy dla małych kątów:

 

.

 

      Wartość zbieżności południków określa wielkość odchylenia ortodromy od loksodromy.

      Widzimy więc, że odległość, dla której powierzchnię Ziemi można uważać za płaską, zależy tak od , jak i od .Tylko dla południków i równika odległość ta jest nieograniczona.

 

Góra strony

 

 

1. Estymacja pozycji z dwóch kątów poziomych.

 

      Wyznaczając pozycję statku z kątów poziomych znamy:

v     Współrzędne trzech znaków nawigacyjnych:

 

*   A(XA,YA), B(XB,YB), C(XC,YC).

v     Kąty poziome  i .

 

Współrzędne punktu M(X,Y) możemy obliczyć zarówno w stosunku do punktu A(XA,YA), jak i punktu C(XC,YC):

        

,

.

 

Rys. 1. Elementy geometryczne obliczania pozycji z dwóch kątów poziomych.

 

Kolejność obliczeń:

v     Obliczamy azymut linii baz  i :

 

 

v     Obliczamy długość linii baz AB i CB:

 

 

v     Obliczamy wartość kąta B w czworoboku ABCM:

.

 

v     Obliczamy wartość połowy sumy kątów A i C:

 

 

a także wartość połowy różnicy kątów A i C. Aby to osiągnąć obliczamy długość odcinka BM z trójkątów MAB i MBC:

 

 

stąd

 

,

 

szukamy takiego kąt Q, aby

 

 

wtedy równanie

 

,

 

przyjmie postać:

 

,

 

Napiszemy proporcję pochodną do proporcji

 

 

Powstałe równanie przekształcamy następująco:

 

,

 

to

 

.

 

Ponieważ

,

 

to

 

.

 

Wprowadzimy oznaczenie

.

 

            Znamy zatem połowę sumy i połowę różnicy wartości nieznanych kątów A i B, to

 

A = m + n

C = m – n

 

v     Obliczamy długość odcinków AM i CM

 

 

 

v     Obliczamy przyrost współrzędnych:  lub :

 

’

 

lub

 

 

            Aby otrzymać współrzędne pozycji statku M(X,Y) należy wartości przyrostów współrzędnych wstawić do równania:

 

 ,

.

 

Góra strony

 

2. Estymacja pozycji z dwóch namiarów obcych.

 

W tym przypadku do obliczeń wykorzystujemy współrzędne prostokątne płaskie (X,Y) dlatego, że jest to o wiele prostsze i skraca zapis.

 

Podczas określania pozycji statku z dwóch namiarów obcych znamy:

q       Współrzędne znaków nawigacyjnych: A(XA,YA), (XB,YB).

q       Wartości namiarów z punktów A i B na statek: NRA, NRB oraz różnicę namiarów.

Szukamy natomiast współrzędnych punktu M, które można wyrazić w zależności od współrzędnych punktu A jak i B:

 

 

            W tym przypadku przedstawimy je w stosunku do znaku nawigacyjnego A.

 

 

Rys. 2. Elementy geometryczne obliczania pozycji z dwóch namiarów obcych.

 

 Kolejność obliczeń jest następująca:

q       Szukamy wartości pomocniczego kąta  (azymut linii bazy w punkcie A):

 

.

 

 

q       Obliczamy odległość AB (długość linii bazy):

 

 

q       Obliczamy wartość kąta A w trójkącie ABM:

 

.

 

q       Obliczamy długość boku AM:

 

 

q       Obliczamy wartość oraz :

 

 

Aby otrzymać rozwiązanie należy rozwiązać równania:

 

 

Góra strony

 

 

3. Estymacja pozycji z dwóch odległości.

 

Przy określaniu pozycji z dwóch odległości wartości jakie znamy to:

 Współrzędne dwóch znaków nawigacyjnych : A, B.

 Wartości odległości: D1(AM), D2(BM).

Rys. 3. Elementy geometryczne obliczenia pozycji z dwóch odległości.

 

Kolejność obliczeń:

 

.

 

.

 

.

 

 

 

Wstawiając wartości przyrostów współrzędnych do równania

otrzymamy szukane współrzędne pozycji statku M.

 

Góra strony

 

4. Estymacja pozycji z dwóch różnic odległości.

 

Podczas estymacji pozycji statku znamy następujące wartości:

 

,

.

 

Rys. 4. Elementy geometryczne obliczenia pozycji z dwóch różnic odległości.

 

            Kolejność obliczeń:

 

 

 

.

 

 

 

 

 

Z równań tych wyznaczymy D2 ale kąt  pozostaje nadal nieznany,

 

,

   stąd

*   .

 

Lewa strona powstałego równania jest wielkością znaną i oznaczymy ją jako k. Wówczas nasze równanie przyjmie postać:

 

 

Wprowadźmy oznaczenie pomocnicze:

 

.

 

Wówczas równanie

przyjmie postać:

 

,

a stąd

 

Mamy więc

 

.

 

Możemy teraz wyznaczyć wartość D2 z równania

 

 

.

 

 

 

 

Góra strony

 

5. Estymacja pozycji z dwóch sum odległości.

 

Wyznaczając pozycję statku z dwóch sum odległości znamy:

 

Ø      Współrzędne trzech znaków nawigacyjnych A, B, C.

Ø      Dwie sumy odległości  i .

 

Współrzędne pozycji M obliczamy w stosunku do środkowego znaku nawigacyjnego B(XB,YB).

 

 

Rys. 5. Elementy geometryczne obliczania pozycji z dwóch sum odległości.

 

Kolejność obliczeń:

Ø      Obliczamy azymuty linii baz  i :

 

 

Ø      Obliczamy wartość kąta B w czworoboku ABCM:

 

.

 

Ø      Obliczamy długość linii baz AB = a, BC = b:

 

 

Ø      Obliczamy odległość D2 i wartość kąta . W tym celu z trójkątów ABM i BCM wyznaczamy:

 

 

Z równań tych wyznaczymy D2 ale kąt  pozostaje nadal nieznany,

 

,

.

 

Lewa strona powstałego równania jest wielkością znaną i oznaczymy ją jako k. Wówczas nasze równanie przyjmie postać:

 

 

Wprowadźmy oznaczenie pomocnicze:

 

.

 

Wówczas równanie

przyjmie postać:

 

,

a stąd

 

 

Mamy więc

 

.

 

Możemy teraz wyznaczyć wartość D2 z równania

 

 

.

Ø      Obliczamy przyrosty współrzędnych w stosunku do punktu B:

 

 

Ø      Obliczamy współrzędne pozycji statku:

 

 

Góra strony

 

6. Estymacja pozycji z namiaru i odległości.

 

Chcemy obliczyć współrzędne statku z namiaru i odległości do znaku nawigacyjnego A(XA,YA). Wielkości, które mamy dane to:

v     Współrzędne znaku nawigacyjnego A(XA,YA).

v     Namiar rzeczywisty NR i kąt = NR180°.

v     Odległość od znaku nawigacyjnego.

v      

Rys. 6. Elementy geometryczne obliczania pozycji z namiaru i odległości.

 

Przyrosty współrzędnych wynoszą:

 

Stąd pozycja okrętu:

 

Góra strony

 

7. Estymacja pozycji z namiaru i kąta poziomego.

 

Kiedy daną mamy wartość kąta poziomego i namiar na jeden z dwóch znaków nawigacyjnych, którego współrzędne są znane, to kolejność wyznaczania pozycji statku, w stosunku do współrzędnych znaku na który określono namiar jest następująca:

ü      Obliczamy kąt bazowy :

 

.

 

ü      Obliczamy długość linii bazy AB:

 

.

 

ü      Obliczamy kąty A i B w trójkącie ABM:

 

 

ü      Obliczamy odległość AM:

.

ü      Obliczamy przyrosty współrzędnych:

 


 

ü      Obliczamy współrzędne pozycji okrętu:

 

Rys. 7. Elementy geometryczne obliczania pozycji z namiaru i kąta poziomego.

 

Góra strony

 

8. Estymacja pozycji z odległości i kąta poziomego.

 

W tym sposobie wyznaczania pozycji wartości znane to

 

 Obliczenia wykonujemy według następującej kolejności:

 

 

.

 

 

.

Dalsze obliczenia to :

 

 


 

 

 

Góra strony

 

9. Estymacja pozycji z odległości i różnicy odległości.

 

Wielkości znane to:

q       Współrzędne dwóch znaków nawigacyjnych A i B.

q       Różnica odległości do tych znaków .

q       Odległość do jednego z tych znaków D1=AM.

 

Rys. 8. Elementy geometryczne obliczania pozycji z odległości i różnicy odległości.

 

Aby uzyskać pozycję statku M za pomocą odległości i różnicy odległości należy postępować tak, jak przy wyznaczaniu pozycji z dwóch odległości. Możemy tak uczynić ponieważ odległość  jest także wielkością znaną.

 

Kolejność obliczeń:

q       Obliczamy wartość azymutu  (bazy AB):

 

.

q       Obliczamy długość linii bazy (AB):

 

.

q       Obliczamy wartość kąta A:

 

.

 

q       Obliczamy przyrosty współrzędnych:

 

 

Wstawiając wartości przyrostów współrzędnych do równania

Otrzymamy szukane współrzędne pozycji statku M.

 

Góra strony

 

10. Estymacja pozycji z różnicy i sumy odległości.

 

Przy szukaniu współrzędnych pozycji tą metodą wartościami znanymi są:

Ø      Współrzędne trzech znaków nawigacyjnych A(XA,YA), B(XB,YB), C(XC,YC).

Ø      Różnica odległości .

Ø      Suma odległości .

 

Rys. 9. Elementy geometryczne obliczania pozycji z różnicy i sumy odległości.

 

Kolejność obliczeń:

Ø      Obliczamy azymuty linii baz  i

 

 

Ø      Obliczamy wartość kąta B w czworoboku ABCM:

 

.

 

Ø      Obliczamy długość linii baz AB = a, BC = b:

 

 

Ø      Obliczamy odległość D2 i wartość kata :

 

,

.

 

Ø      Następnie przechodzimy do:

 

.

 

            Wyrażenie to przekształćmy do postaci:

 

.

 

            Lewą stronę powstałego równania oznaczmy przez k, dzięki czemu zapiszemy je w inny sposób:

 

 

Wprowadźmy oznaczenie pomocnicze:

 

.

 

Wówczas równanie:

przyjmie postać:

 

,

a stąd

 

Mamy więc

 

.

 

 

 

Ø      Obliczamy przyrosty współrzędnych w stosunku do punktu B:

 

 

Ø      Obliczamy współrzędne pozycji statku:

 

 

            We wszystkich tych obliczeniach przedstawione zostały metody umożliwiające wyznaczenie współrzędnych pozycji statku z pomiarów dwóch jednorodnych lub niejednorodnych parametrów nawigacyjnych, które stosuje się najczęściej w nawigacji morskiej.

            Przechodząc ze współrzędnych geograficznych (j,l) na współrzędne płaskie (X,Y) posługujemy się wzorami:

 

 

Góra strony